如何證明一個數能否被7整除的判定方法－航空百大

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標題:

如何證明一個數能否被7整除的判定方法

發問:

如題，一個數能否被7整除的判定方法是如下的：例如，求344617能否被7整除把617-344=273，273能被7整除，所以344617能被7整除又如，求4241468能否被7整除把468-241+4=231能被7整除，所以4241468能被7整除怎樣證明此方法呢？最好用中文回答。用比較簡單易明的方法。更新: SdSd請不要問非所答，我問的是如何證明此法，你就說用計算機去計，有甚麼意思呢？更新 2: 甚麼？4241468是能被7整除的！商為605924。更新 3: 我知道為甚麼你算錯了，你算了421468/7，當然除不盡！而且421468/7不是等於60209.7142852...，而是等於60209.714285714285......，即60209.7142857，你把7打錯了2，你是雙重錯誤。更新 4: 還有，在此重新聲明，任何非真正回答者不能在回答欄作答，只可以在意見中發表，包括目前的001和002。亦再強調一次，此法是絕對正確的。更新 5: To 004: 我只是說這個方法是絕對正確的，沒有說我知道證明方法，請不要亂說我有答案還發問。更新 6: To 005: 甚麼是C1和C2?

最佳解答:

技巧很簡單，只用 1001 = 7*11*13 即可，請看看下面。比個中文版你︰設一六位數 ABCDEF. 所以， ABCDEF = 100000A + 10000B + 1000C + 100D + 10E + F = (100100A - 100A) + (10010B - 10B) + (1001C - C) + 100D + 10E + F = (100100A + 10010B + 1001C) + (100D + 10E + F) - (100A + 10B + C) = 7*(14300A + 1430B + 143C) + (100D + 10E + F) - (100A + 10B + C) 以上式子第一括號為 7 的倍數，故判斷該六位數 ABCDEF 能否被 7 除盡，須看 (100D + 10E + F) - (100A + 10B + C)，即前後兩個三位數之差 DEF - ABC 能否除盡 7 。但此方法又是否適用於單數位的數字？方法雷同。另設一七位數 ABCDEFG. ABCDEFG = 1000000A + 100000B + 10000C + 1000D + 100E + 10F + G = (1001000A - 1000A) + (100100B - 100B) + (10010C - 10C) + (1001D - D) + 100E + 10F + G = (1001000A + 100100B + 10010C + 1001D) + (100E + 10F + G) - (1000A + 100B + 10C + D) = 7*(143000A + 14300B + 1430C + 143D) + (100E + 10F + G) - (1000A + 100B + 10C + D) 同理，判斷該六位數 ABCDEFG 能否被 7 除盡的方法，須看前邊四位數和後邊三位數之差 EFG - ABCD 能否除盡 7 。總結，判斷數字能否被 7 整除的方法為︰後邊3個數字與前邊數字之差能否被 7 整除。希望幫到你！ 2010-08-25 20:00:34 補充：更正︰但此方法又是否適用於單數位的數字？方法雷同。應為但此方法又是否適用於單數個數位的數字？方法雷同。 2010-08-25 20:12:57 補充：樓主提供的例子可見， ABCDEFG =1000000A+100000B+10000C+1000D+100E+10F+G =(999999A+A) +(100100B -100B) +(10010C-10C)+(1001D-D)+100E+10F+G =(999999A+100100B+10010C+1001D)+(100E+10F+G)-(100B+10C+D)+A =7*(142857A+14300B+1430C+143D)+ (100E+10F+G)- (100B+10C+D)+A 所以另一判斷方法，是EFG - BCD + A 能否除盡 7, 而通解為樓上summation的解法。

其他解答:

The proof as follow: 圖片參考：http://i187.photobucket.com/albums/x22/cshung/7010082400454.png|||||這方法可由「同餘」證明。 1000 ≡ -1 (mod 7) 1000^(2k) ≡ 1 (mod 7) 1000^(2k + 1) ≡ -1 (mod 7)|||||「還有，在此重新聲明，任何非真正回答者不能在回答欄作答，只可以在意見中發表，包括目前的001和002。亦再強調一次，此法是絕對正確的。」有答案為何還要問? 也可以知道足下完全不知尊重為何物|||||這證明應與中國餘式定理有關。例如 9=1(mod 4)，即表示9被4整除時，餘數為1。不過，亦有較簡單的"證明"。考慮k=1000a+b，當中a,b為非負整數。由於k=7(143a)+b-a，若果 b-a 能被7整除，則k能被7整除。上述並不是完整證明，因一正整數可有乘千上萬的位，運用中國餘式定理才可以得到一個普及的證明。|||||不能證明此法，因為是錯的，我計過是4241468/7=60209.7142852...6A560DB68EC65D60